Du befindest Dich in der Spielshow mit dem "Zonk". Deine Aufgabe ist es, Dich zwischen drei geschlossenen Toren zu entscheiden. Du weißt folgendes: hinter einem Tor ist ein Auto, hinter zwei Toren ist der "Zonk" (also die Niete). Nach Deiner Entscheidung für ein Tor wird der Moderator eines der beiden verbleibenden Toren öffnen und Dir zeigen, was sich dahinter verbirgt. Da er natürlich weiß, wo das Auto und wo die Zonks sind, wird er ein Tor mit Zonk öffnen. Anschließend darfst Du Dich umentscheiden, wenn Du möchtest.
Nun die Frage: Lohnt es sich, ein anderes Tor zu wählen?

achtung lösung (hoff ich jedenfalls )

bei der ersten auswahl des tores is es ja wahrscheinlicher eine niete zu ziehen P=2/3. man hat also mit 2/3 wsk ne niete. wenn nun eine niete geöffnet wird ist die wsk dass man selbst die niete hat immernoch 2/3. dagegen steht das andere tor das nur zu 1/3 ne niete ist. also lohnt es sich das andere tor zu wählen

Original von -=Warrior=-
achtung lösung (hoff ich jedenfalls )

bei der ersten auswahl des tores is es ja wahrscheinlicher eine niete zu ziehen P=2/3. man hat also mit 2/3 wsk ne niete. wenn nun eine niete geöffnet wird ist die wsk dass man selbst die niete hat immernoch 2/3. dagegen steht das andere tor das nur zu 1/3 ne niete ist. also lohnt es sich das andere tor zu wählen

:taetschel:Theoretiker

das offene Tor ist doch Wurscht. Ab jetzt stehen die Chancen 50:50 oder 1:1 oder "hop oder top". Da kannst rechnen oder Tore tauschen wie die willst, es wird nicht besser.

:wink2:Klaus

nenene diesma bin ich mir eigentlich ziemlich sicher dass es stimmt...
schwer zu erklären aber wenn man mal alle fälle durchspielt wirds einem klar...

noch ein versuch:
wenn ja 2 tore von 3 zonks sind hast du ja in 2 von 3 fällen das falsche tor gewählt und nur einma das richtige. das heißt ja eigentlich dass du in 2 von 3 fällen durch den wechsel nach dem öffnen zum gewinner tor wechselst und nur in 1 fall zum übriggebliebenen zonk tor...
also hast du wenn du wechselst eine chance von 2/3 zu gewinnen und wenn du nich wechselst nur ne chance von 1/3

natürlich kann man auch 20000mal hintereinander ohne zu wechseln gewinnen aber is hal sehr unwahrscheinlich bzw unwahrscheinlicher als 20000mal mit wechseln zu gewinnen

Original von oldtimer treiber
Ab jetzt stehen die Chancen 50:50 oder 1:1

Falsch!
Es ist eben kein neu begonnenes, sogenanntes Laplace-Experiment!
Sondern die Vorgschichte ist von Bedeutung und -=Warrior=- hat das im 1. Post gut erklärt!

nächster versuch :

wir definieren 3 tore A B C und G für gewinn sowie Z für zonk nun gibt es 3 möglichkeiten für die verteilung:

1.: A=G, B=Z, C=Z
2.: A=Z, B=G, C=Z
3.: A=Z, B=Z, C=G

wir nehmen an der spieler darf 3mal spielen und nimmt jedes mal tor A, wobei beim 1. spiel die verteilung wie bei 1 is, beim 2. wie bei 2 usw...
das spiel läuft ab wie oben erklärt (moderator öffnet zonk usw)

so jetzt das eigentlich experiment:

(1) der spieler behält jedes mal nach öffnen des anderen tores sein vorhergewähltes tor A -> er gewinnt beim ersten spiel und verliert bei den beiden anderen -> 1 von 3 gewinnt er also P(G)=1/3

(2) der spieler wechselt jedes mal nach dem das andere tor geöffnet wurde auf das übriggebliebene -> er wechselt also einmal obwohl in A der gewinn gewesen wäre und wechselt 2mal vom zonk weg zum gewinn -> 2 von 3 gewinnt er also P(G)=2/3

also ist die wahrscheinlichkeit zu gewinnen doppelt so hoch wen man jedesmal wechselt als wenn man sein eigenes tor behält...besser kann ichs au nimmer erklären

Original von Reminder
Schließlich wird nach dem Wegfall der 1. Niete nicht der "Inhalt" der beiden verbliebenen Tore neu gemischt - oder doch?

Genau, das ist der springende Punkt!
Es wird nicht neu gemischt, deswegen ist die Vorgeschichte wichtig!!!
Würde neu beliebig gemischt, wäre hinterher die Wahrscheinlichkeit wirklich 50:50!

Obwohl -=Warriors=-s Erklärung zu Beginn ausreichend ist, versuche ich es nun
mit einem hervorragenden Beispiel (nicht von mir!):

Angenommen wir spielen das Spiel 999 mal mit 2 Kandidaten.
Die Kandidaten einigen sich auf folgende Strategie:

Kandidat 1 bleibt immer beim zuerst gewählten Tor
Kandidat 2 nimmt immer das andere Tor!

Jetzt passiert folgendes 999 mal wird der Preis hinter 1 von 3 Toren gelegt.
Die Kandidaten wählen eines der 3 Tore.
Die Wahrscheinlichkeit, dass hinter diesem zuerst gewählten Tor der Preis liegt,
ist unbestritten 1/3.
Kandidat 1 beliebt unbeirrt bei dieser Wahl ohne auf die Folgeaktionen
des Moderators zu achten.
Er wird aller Wahrscheinlichkeit nach von den 999 Preisen ca. 1/3 d.h. ca. 333 gewinnen.
Und wer gewinnt die anderen 666 ?
Natürlich Kandidat 2, der ja immer das andere Tor nimmt. D.h. er gewinnt mit einer
Wahrscheinlichkeit von 2/3.

Falls es immer noch nicht klar ist:
Die unterschiedlichen Strategien lassen sich auch wie folgt beschreiben.
Kandidat 1 nimmt ein Tor, nämlich das zuerst gewählte!
Kandidat 2 nimmt zwei Tore, nämlich die anderen beiden.
Das der Moderator von den 2 Toren eines öffnet, hinter dem kein Preis ist,
ist keine zusätzliche Information, weil mindestens eines dieser beiden Tore eben
keinen Preis enthält, und der Moderator schließlich hinter die Kulissen schauen kann,
und IMMER ein Tor ohne Preis öffnet!

**uff*

1.: B oder C wird geöffnet
2.: C wird geöffnet
3.: B wird geöffnet

wo liegt das problem?

siehs ein

fesi...vermute mal gleich zeitig
wenigstens wir wissen dass wir recht haben

Allen Zweiflern mache ich ein Angebot:

Jeder von uns kommt mit 100 Zehn-Euro-Scheinen.
Wir haben einen Helfer, der 200 Mal einen 10er
unter eine von drei Schuhschachteln legt.
Er würfelt dazu heimlich einen Würfel, und legt den
10er bei 1 und 2 unter die linke Schachtel,
bei 3 und 4 unter die mittlere Schachtel,
bei 5 und 6 unter die recht Schachtel.

Du wählst eine Schachtel mit der Strategie von Kandidat 1,
d.h. Du bleibst dabei, egal was folgt.
Ich nehme die andere?

Wann glaubst Du, weiß unser Helfer genau, wer von uns beiden
den 10er gewinnt?

Genau!
Dann wenn Du Deine Schachtel gewählt hast!
Und nicht erst nachdem er die leere Schachtel hochgehoben hat

nur deine erklärung is falsch

Und es lohnt sich doch!

Wenn man die Strategie verfolgt, das Tor nach Aufdeckung des Zonks zu wechseln, so gewinnt man in 2 von 3 Fällen das Auto. Man erhöht seine Chance also von vormals 1/3 auf 2/3.

Mit einer Wahrscheinlichkeit von 1/3 steckt das Auto hinter dem zuerst gewählten Tor, zu 1/3 + 1/3 = 2/3 hinter einem der beiden anderen Tore. Wenn der Spielleiter nun ein Zonk-Tor (das ist Voraussetzung) öffnet, so kann sich die Wahrscheinlichkeit für den Gewinn hinter dem zuerst gewählten Tor dadurch nicht ändern. Denn der Spielleiter "beweist" lediglich, was der Kandidat vorher schon wusste: hinter einem der beiden nicht gewählten Tore befindet sich der Zonk. Somit "konzentrieren" sich die verbleibenden 2/3 Gewinnwahrscheinlichkeit nur noch auf ein Tor, nämlich das andere geschlossene. Deshalb ist es strategisch günstig, zu wechseln.

Es wird relativ klar, wenn mann das Ganze wirklich mal explizit aufschreibt, so wie es Warrior oben schon gemacht hat:

A=Auto, Z=Zonk
Fett ist die erste Wahl des Kandidaten
Unterstrichen ist das vom Spielleiter geöffnete Tor

1. Fall:
A Z Z Spieler wechselt und verliert

2. Fall:
A Z Z Spieler wechselt und gewinnt

3. Fall:
A Z Z Spieler wechselt und gewinnt

In zwei von drei Fällen gewinnt der Spieler also das Auto.

Original von Qlanz
Anschließend darfst Du Dich umentscheiden, wenn Du möchtest.
Nun die Frage: Lohnt es sich, ein anderes Tor zu wählen?

Das ist eine neue Situation:
Man hat nun von neuem die Wahl. Es sind jetzt definitiv zwei Tore und somit die Wahrscheinlichkeit des Gewinns 1/1.

Das dritte Tor spielt für diese Entscheidung keine Rolle mehr.

Klaus